弦拓扑(string topology)是近几年来兴起的一个数学学科，概括地说，它是关于流形的路径空间(path space)上的拓扑性质及其在微分几何，同调代数和数学物理等领域的应用的研究。

1999年美国数学家moira chas和dennis sullivan在网络上(www.arxiv.org)发表了他们的研究论文string topology，即弦拓扑(文献1)。在这篇论文中，他们证明了一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群有一个gerstenhaber代数和一个batalin-vilkovisky代数(简称bv代数)结构，从而得出了关于流形的一类新的拓扑不变量。此后，sullivan和他的合作者们，陆续发表了几篇关于流形的环路空间和路径空间方面的论文，进一步探讨了这些空间的拓扑性质。他们的研究很快吸引了许多数学家的兴趣，并引起了广泛的研究，这些研究主要集中在：

1.一个流形的什么代数性质导致了它的环路空间的这两个代数结构？

2.这些新的不变量是流形的什么样的不变量？比如说，是不是流形的同胚或者同伦不变量？

3.由于迄今为止所有bv代数的例子都来自于弦理论，那么弦拓扑有没有一个弦理论的解释？

4.越来越多的辛几何特别是辛场论(symplectic field theory)的研究者发现，辛场论和弦拓扑的研究对象有类似之处，那么这两者之间到底有什么关系？

5.弦拓朴研究的是流形的环路空间，那么它在低维流形的研究中，比如说三维流形和纽结理论，有些什么样的应用？

所有这些研究现在被统称为弦拓扑。

gerstenhaber代数是60年代美国数学家gerstenhaber在研究环(ring)和代数(algebra)的形变理论中发现的一种代数结构，又称为辫代数(braid algebra)。它同时是一个交换的结合代数和一个李括号度数(degree)为一的李代数，并且两者满足一定的兼容条件。

chas和sullivan是怎么在流形的自由环路空间上发现gerstenhaber代数的呢？给定一个流形，它的自由环路空间上的一个链(chain)可以看成一簇环路，这簇环路上面有一个显然的标记，也就是他们的起点(同时也是终点)。给定两个这样的链，如果第一簇环路中的某个环路的终点跟第二簇环路中某个环路起点相同，那么我们就把这两个环路连接起来形成一个新的环路。这样我们就得到一簇新的环路，现在称为chas-sullivan环路乘积(loop product)，而且这样的乘积跟边缘算子兼容，因而可以定义到同调群上。

有了chas-sullivan环路乘积，我们自然问：这个乘积是不是交换的？在链水平上这显然不是，但是chas和sullivan证明它在同伦的意义下是交换的，也就是说，自由环路空间的同调群在chas-sullivan环路乘积下形成一个交换的结合代数。并且，chas和sullivan还证明，这个同伦算子形成一个准李代数(pre-lie algebra),因而它的交换子形成一个李代数；这个李代数和上面的交换结合代数满足gerstenhaber代数所必须的兼容条件，从而我们在自由环路空间的同调群上得到一个gerstenhaber代数。

bv代数是60年代俄国物理学家batalin和vilkovisky在研究场论的量子化时候发现的，它是一类特殊的gerstenhaber代数。具体地说，它除了是一个gerstenhaber代数外，还有一个度数为一的算子，这个算子对于乘积运算不形成一个导子，而它成为导子的偏差，就正好是李括号。回到环路空间上来：对于自由环路空间，我们可以把这些环路进行旋转，仍然得到一个环路，也就是说自由环路空间允许一个s1作用。chas和sullivan证明了，这个s1作用，在同调水平上就是满足bv代数所需要的度数为一的算子。

可以证明，chas和sullivan得到的这些不变量在很多情况下并不是平凡的。

为什么要研究弦拓扑呢？这个问题要追溯到最近二十多年来整个数学的发展。

最近二十多年来的数学，特别是几何，拓扑，和代数的发展，非常深刻地受到量子场论和弦理论的影响。