补充资料：Лобачевский几何学

Лобачевский几何学
Lobachevskil geometry

加6明e砚以盛几何学【肠加由哪洲邵“理匀;刀沁6朋，-e劝ro reoMeTP“，1 除了平行公理(见第五公设(皿bp笼tU肠te))以外，其基本前提与Ddd几何学(Eudid‘Lng幻metry)相同的一种几何学.按照这一公理，在Eudjd几何学中，平面上通过不在直线A’A上的一点P正好有一直线B‘B与A‘A不相交.直线B’B称为A’A的一条平行线.因为可以经由依次画直线PQ土A’A及尸B土尸Q证明不相交直线的存在性，只要求最多有一条不相交直线就够了.觉寿 图2 在月以兔明BcK戒几何学中平行公理要求通过一点P(图1)有多于一条线与直线A‘A不相交.所有这些与A‘A不相交的直线充满以尸为顶点而位于关于垂线尸Q对称的对顶角T尸U和U‘P甲之内.形成对顶角之两边的直线分隔与A‘A相交和不相交的直线，而它们本身与A‘A不相交.这两条边界线称为A‘A通过P点的沿其两个方向的平行线(para]」els):T‘T是A‘A沿方向A‘A的平行线，UU，是A‘A沿方向AA’的平行线.其他的与A’A不相交直线称为A‘A的超平行线(ul加pa“dlels)(详见下).过尸点的一平行线与垂线pQ所构成的角“，乙Q尸T=匕Qpu，，O<戊<刘2，称为线段尸Q=a的平行角(a卿e ofP盯alle-比m)，记为江兰fl(a)·a二0时匡”兀/2;当a增加时角“减少，所以每一给定的仪对应一确定的值a.其对应关系称为助6a明加K戒函数(助加dle诏幼仙1-以ions): n(a)=2 arctan(e一““)，此处k是确定尺度的一个常数，称为月汉兔叨BcK滋空间的曲率半径(扭di珊of。团n么t阶ofthe助加che话klivsp暇). Euelid几何学可以作为几以兔叨日以丽几何学的极限情况来得到:即当通过尸点的两条平行线合而为一时，所有通过尸点而与A‘A不相交的直线是唯一直线.从而每一a对应的角度二=二/2.此条件等价于k二的.在空间的小区域，即图形的大小与k相比是无限小时，月以兔明BcK晾几何学的所有关系式趋近于Euelid几何学的关系式. 平面上两条不同直线构成下面三种关系之一. 相交直线(In把15喊ingha已).一直线上的点到另一直线的距离随其到此二直线之交点的距离的增加而无限增加.如果两条直线不垂直，则其中任意一条可正交投影到另外一条的一个有限开区间. 平行线(paJ甩lelllin巴).没有公垂线的不相交之共面直线.如图l，在p点有pT!IQA，pU‘j}QA’，其平行角为成.平行是可传递的(如果在同一方向有“}{b，b}{c，则在该方向有“衬c).平行线沿着平行方向互相无限靠近(意指一直线上一动点到另一直线之距离)，其中之一在另一条上的正交投影是一开半直线. 超平行线(司tnlpanlllels).有一公垂线、其长度给出二直线间之最短距离.超平行线在其公垂线之任一侧无限散开.每一直线可投影到另一直线的一个有限长度开区间. 相对于直线的三类关系，平面上有三种类型的线束，其中每一种都覆盖了整个平面:第一类线束(拌11cilofthe脉t kind)是经过某一点的所有直线之集合(该点称为线束中心〔cen加of the pellci】));第二类线束(闪俪lof thes期nd kind)是垂直于某一直线的所有直线之集合(该直线称为线束的底(h始e ofthePencil));第三类线束(侧犯cil of the thjrd kind)是在一给定方向上平行于某一直线的所有直线之集合，包括已给直线. 三类线束中直线的正交轨线分别形成Fu比d平面上圆的类似物:正常圆(pIDperc扮cle);等距曲线(闪ul-曲tant~或~of叫Ual血切n。万)(不包括线束的底);极限曲线(址面血堪c山货)亦即极限回(ho-ro仍de)，可当作圆心在无穷远处的圆.所有极限圆是合同的，它们是非紧的，并在平行的一侧是凹的，由同一线束所生成的两个极限圆是同心的(它们在线束的各直线上截得相等的线段).线束中两条直线所夹、位于平行方向一侧的两条同心弧的长度之比是两弧距离戈的如下指数函数: 二一e一x/k. S 圆的每一种类似物都可由其内部的滑动形成平面上的一种单参数运动:关于通常圆心的旋转;平移(一条轨线是线束的底，其他的是等距线);以及平行位移(所有轨道都是极限圆). 圆的类似物关于其生成线束中的一直线旋转产生球面的类似物:正常球面(proper sPhere);等距曲面(su到兔沈of叫ual此扭n。资)和极限球面(ho心pbere);即极限曲面(五而石ngsujhaCe). 在球面上大圆的几何学就是通常的球面几何学;在等距曲面上是等距线的几何学，就是月面a叨B以戒测面积学，但对应于较大的k值;在极限球面上则是极限圆的Euelid几何学. 由极限圆的弧长和弦长之间的关系和极限球面上的Eu比d三角关系式可导出平面上的三角关系式，即直线三角形的三角公式.例如，三角形的面积公式是: 。二kZ(兀一滋一B一C);圆的周长的公式是: ‘一2·“Sinh(贡). 月以劝昵毗滋几何学的三角公式可由将球面几何学(sPbe对cal多刀lr吸理)之公式中的半径R换成虚数ki而得到. Jl浦a叨BcK戒几何学之相容性的证明可通过构造一个解释(模型)来完成.第一个这种解释是Bd。翻1诬解释(Be]加mi inte甲re切石on)，它证实在Eucljd空间某一个具有常数负C抽理洛曲率的曲面上的内蕴几何学局部合同于月七丈政叨B以戒几何学(其中直线相应于该曲面上的测地曲线).这种类型的曲面称为伪球面(pseudo一sPhere). 氏】加而的另一解释由从一个常数负曲率曲面到圆盘内部的测地映射所构成. 逗乡 图2 不过，氏l加而的解释只建立了Jl以妞明BcK戚平面的一部分的模型.关于整个瓜反叨BcK滋平面的第一个解释是幻d的解释(幻eln in忆rpre恤石on)，其中用到了Q尹ey的射影度最(pro」。=t iVell祀州c).在此解释(图2)中Jla6明eBcK浦平面的直线由一绝对形(不含端点)的弦实现，垂线则是其共扼弦.距离和角度可由四点组(一线段的端点M，N以及线段所在弦的端点U，T)和相应的四线组(角的两边以及通过角的顶点的绝对形的虚切线)的交比(cn义粥m石。)来表示.经过点尸与直线MN平行的直线由与MN交于绝对形的直线尸于和尸厅实现.绝对形的点表示“无穷远点”(它们不是月汉熟叨eBcK戒平面的点). 公 图3 1882年，Poinca正在建立自守函数理论时，得出另外两个模型，其一在圆盘内，其二在半平面上(参见物七口悦模型(Poina戒model)).在第一个模型(图3)中月以五叨BcK戚平面由圆盘的内部实现，直线由与主圆盘正交的圆在圆盘内的弧实现.距离由交比引人，而此模型中角度的值跟月伏兔叨BcK戚平面(共形模型)中的相同. 坐标的引人使得有可能建立月伏兔明BcK戒平面不同的解析模型，Poina疵在1887年提出将一个双叶双曲面之一叶上的径面截线的几何学当作Jl以兔叨BcK戒几何学模型，它也可以作为伪D川id空间(娜e以fo一Eu-山d份n sPace)的一个半径为纯虚数之球面的几何学来考虑.这些模型可以推广到n维空间情形. 同椭画几何学(e巧Ptic脚服甸)一样，月面alleB-cK戒几何学是常曲率RI日m以nn空间的几何学. 几叹触qeBcK戒几何学的产生起源于平行线问题，即证明Eucljd关于平行线之第五公设的尝试.H.H.JIo-6a，eBc盆H饭(1826年，1829一1830年发表)证明了由一个与Eudid第五公设不同的假设可以构造出比Euclid几何学更一般的月面a叼eBcK浦几何学.独立于月以兔-qeBcK戒，J .BO加1在1832年获得同样的发现，但由于没有得到C .F.〔恤u骆的公开支持，Bolyai没有继续其研究. C恤u铭更早以前就作出了这一新的几何学的开端，但他既没有发表其研究工作，也没有公开谈到这些想法.不过，C恤u铝在私人通信中高度评价了氏1声1和月叹兔、BcK浦的工作，只是没有公开发表意见. 泊6魄砚.j几何学的应用.在其第一篇关于他的几何学的工作中.月面职eBcK戒运用当时天文学家所测得的恒星年视差，证明了如果他的几何学在物理空间实现，则在太阳系范围内Eudjd几何学的偏差将比可能的测量误差低几个数量级.因此，月以兔叨BcK戚几何学的第一个应用是Eudid几何学之实用精度的保证. 月面明eBcK戒将其几何学应用于数学分析.通过将某一坐标系代换他的空间中的另一个坐标系，几石a明B-cK戒得出大约2(X)个定积分的值.其他数学应用由Poin。说(1882)发现，他将Jlo6aqeBcK戒几何学成功地应用于自守函数理论的发展. 月以兔qeBcK戒几何学对于宇宙论的意义最先由A.A.F八浏吐必n提出.1922年他发现了D份比加方程(Eir巧teill叫Uations)的一个解，该解蕴涵宇宙随时间膨胀.这一结论随后由E .Hubble的观测所证实，他发现了远星云的散布.Fri记皿In所发现的度量当时间固定时给出月面aqeBcK滋空间.狭义相对论的速度空间就是一个月面叭eBcU盛空间. 月面aqeBcK丽几何学已被成功地应用于基本粒子的碰撞及核子研究的其他问题. 人对于空间之附近区域的视觉产生逆透视效果，此现象可由透视空间的该区域的几何学接近于曲率半径约为巧米的月面明eB以戒几何学这一事实来解释. 月币朗eBcK浦几何学的创立是空间可能性质的研究发展中的重要一步.它对数学基础也有特别重要的意义，因为现代公理方法的原理的形成在很大程度上归功于月面a，eBcK戚几何学的出现.【补注】几石阴eDcK戒几何学又称为双曲几何学.如同在球面几何学中自然地使用半径为l的球面一样，在J」面a明BcK耐几何学中人们通常假定k=1以简化公式.(例如，n(a)=Zarctan‘“，a一兀一A一B一C，l=2二sinh r.) 假如氏1比加结合他的两个解释，就能够得到F.Klein的结果. 关于如何在Po~记之第一个模型(图3)中不用交比引人度量，参见IAZ]. 有关历史问题又见【Ag 1.此文献收人了JI涌叭eB-cK戒的一篇论文和Bol师之附录【2]的英译.

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