补充资料：解析函数边界性质

    　　以复变函数论为基础结合实变函数论研究解析函数的边界性质，与调和函数的边界性质有紧密的联系，主要研究单位圆内和一般区域内种种解析函数族的边界性质。
　　
　　设函数??(z)在单位圆｜z｜< 1内解析，记如果0 ≤∞，M_p(r，??)对一切0≤r<1有界，称??(z)属于哈代函数族H^p；如果对一切0≤r<1有界，称??(z)属于奈望林纳函数族N,这里，若α≥1，log⁺α=logα；若α<1，log⁺α=0。
　　
　　设??(z)是平面区域D内的解析函数,ζ是边界дD上的给定点,如果当z在D内以ζ为顶点的任何角形区域内趋于ζ时，??(z)都趋向于一确定值,称??(z)在边界点ζ处有非切向极限值,记为??(ζ)。如果在 дD上除一测度为零的点集外，处处有非切向极限值，称??(z)在дD上几乎处处有非切向边界值??(ζ)。
　　
　　边界性质与域内性质 　一类问题是，利用解析函数的域内性质（比如函数模在区域内的增长性）研究其边界性质。P.J.L.法图(1906)和F.（F.）里斯(1923)分别对p=∞和0<∞证明：若??(z)∈H^p,则??(z)几乎处处有非切向边界值 ??(e^iθ),|??(e^iθ)|∈L^p[0,2π],log|??(e^iθ)|∈l¹[0,2π]除非??(z)呏0，并且对[0,2π]上的任何正测度集E，
　　
　　1922年R.奈望林纳证明：若??(z)∈N且??(z)扝0,则??(z)几乎处处有非切向边界值??(e^iθ),并且log|??(e^iθ)|∈l¹[0，2π]。另一类问题是,利用解析函数的边界性质判断其域内性质。1917年И.И.普里瓦洛夫证明：设??(z)在|z|<1内解析,??(z)扝0,若在单位圆周的一个正测度集E上,其非切向边界值??(e^iθ)为零,则??(z)呏0。又若??(z)∈h¹,则??(z)在圆内的值可通过圆周的一个正测度集E上的边界值表示出来。这是Γ.М.戈卢津和Β.И.克雷洛夫1933年的结果。
　　
　　积分表示问题 　单位圆|z|<1内解析函数 ??(z)可表示成φ∈l^p[0,2π](1≤p ≤∞)的泊松积分
　　的充分必要条件是：??(z)∈H^p。
　　
　　构造问题 　里斯在1923年证明：若且??(z)扝0,则??(z)=B(z)F(z),这里B(z)是??(z)在|z|<1内所有零点{z_n}所组成的W.J.E.布拉施克乘积，
　　F(z)∈H^p且F(z)≠0；若??（z）∈N，则??(z)=B(z)g(z)，g(z)∈N且g(z)≠0。1929年 Β.И.斯米尔诺夫进一步证明，单位圆内解析函数??(z)∈H^p(p>0)的充要条件是：??(z)可以分解成
　　这里B(z)是??的布拉施克乘积,S(z)是奇异内函数,F(z)是H^p的外函数，并且
　　式中m是非负整数，；μ(t)是非减的有界变差函数，其导函数几乎处处等于零；ψ（t）>0,ψ∈l^p，Inψ(t)∈l¹[0,2π]，у是一实数。特别当??∈h^p时，ψ(t)几乎处处等于。这种分解还是惟一的。又单位圆内解析函数??(z)∈N的充要条件是??(z)可分解成
　　，这里B(z)是??的布拉施克乘积，S₁(z)和S₂(z)分别是奇异内函数,F(z)是N的外函数，其中ψ(t)≥0，lnψ(t)∈l¹[0，2π]。特别若??∈N，则ψ(t)几乎处处等于。
　　
　　一般区域的情形 　设D是边界多于一点的单连区域，若在D内存在可求长的若尔当闭曲线C₁，C₂,...,{C_n}趋于边界дD，使得
　　，则称??∈E^p（D）。若边界是可求长的若尔当曲线C，则E^p(D)中每个函数??(z)在C上几乎处处有边界值??(ζ),并且；如果边界值函数??(ζ)在一正测度集上等于零,则??(z)在D内必为零。若??∈E¹(D),则对D内的z,；反之，若g在C上可积,并且,则，且在C上几乎处处以g(ζ)为边界值。
　　
　　解析函数边界性质的理论是^p 空间&dbname=ecph&einfoclass=item">H^p 空间理论的基础和重要组成部分，对多复变数解析（全纯）函数边界性质的研究有深刻的影响，在奇异积分方程、解析函数的边值问题和弹性力学及断裂力学中都有广泛应用。
　　

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