补充资料：结合环与结合代数

结合环与结合代数
associative rings and algebras

结合环与结合代数!朋，心涌ve rings and aigeb闭;毗-侧ItaT.曰田曰e翻侧1叫a“幼氏6p“i 有适合结合律的乘法的环与代数，即有两个几元运算:加法“十”与乘法“·”的集合，关于加法作成Abel群，关于乘法作成半群，其中乘法对加法有(左、右)分配律.进一步地-一个结合代数应当是一个固定域F上的向量空间，而且乘法与由域中元素相乘在下述意义下是相容的:对任意戊〔F及代数中所有元素a，b，仪(ab)=(戊a)b=a(:b) 结合环与结合代数的首要例子是数环与数域(复数域及其子环)，多项式代数，域上矩阵代数与函数域.结合环与结合代数的理论在二十世纪初已发展成为代数学的一个独立分支.这一理论与数学的许多领域相关，特别是代数几何与代数数论(交换环)、泛函分析(交换赋范环、算子环与函数环)飞拓扑(拓扑空间上的连续函数环).域论、交换环理沦(见域(阮ld)，交换环(commutative ring)，亦见交换代数(commutative al罗bra))，以及结合代数的表示理论已经成为结合环与结合代数理论的独立分支.拓扑环与除环理论形成了拓扑代数(topologicalalgebra)的一部分. 结合环与结合代数理论的经典部分由有限维结合代数的理论([21)构成.该理论的主要结果是:域F上有限维单结合代数(即，无真理想)是一个在F上是有限维的除环上的全矩阵代数，(Wedderbum定理(wedderburn theorem));特征为零的域上的有限维结合代数(甚至更一般地，可分的有限维结合代数)是其根I(即极大幂零理想)与一个半单(即根为零)子代数S的(作为线性空间的)直和.任意两个补半单子代数s与s，是共辘的(见wedde比urn一M助I.ue，定理(Wedderbum一Mal，tsev theorem)). 除环是最重要的结合代数类之一，见除环(s kew-field)(即对环中任意元素a，b，a笋0，方程ax二b与ya=b都可解的结合环).成为某一域上的代数的除环，称为可除代数(divisional罗bra).有限维可除代数理论是域论的经典内容.实数域上全部有限维可除代数已经被刻画:它们是实数域、复数域及四元数除环，(见F州伙川uS定理(F robenius theorem)).所有有限除环是交换的(除环的Wedderbum定理(Wedder-burn theorem on skew field)).除环的Galois理论已经建立起来([5]). 结合环的结构理论中的关键概念是Ja印加佣根(J acobeon radical)、半单性与本原性.一个结合环称为(在Jacobson意义下)半单的，如果其Jacobson根为零.一个环称为(右)本原的，如果它有不可约忠实右模.所有半单结合环均为本原环的次直和.任意本原结合环R是除环上某一向量空间V的一个稠密线性变换环(Jacobeon稠密性定理(Jacobeon density theo-rem));此处稠密的意义是:对

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