补充资料：旋度

旋度
curl

旋度[cur一或rotati叩;朋xp司 一个向量场a(M)的旋度是由该向量的“旋转分量”给出的向量场.如果a(M)是运动的连续介质中质点的速度场，则旋度等于质点角速度的一半.旋度记作curla(有时用rota表示).在Descartes直角坐标系x，y，z中旋度由下列表达式决定: {l!aw avll{a。awll{a。a“1} 1 2 1 ay az」’2{az ax}’2 1 ax妙}}其中。(M)，v(M)，w伽)是a(M)的分量. 在给定时刻，每一点的旋度均位于其切线上的空间曲线称为涡线(vortiol line).由依赖单参量的旋涡线族所产生的任意表面称为涡面(vortical surface).涡面中一个极为重要的例子是涡管(vortical tubes)，它是由某一封闭曲线所有各点引出的旋涡线组所构成的.如果该曲线无限小，则所形成涡面称为涡丝(vorti以lthread).涡面也称为涡层(vortl以1 layers)，认为它是由布满旋涡线的Jt何曲面所组成的.通过涡层时流体的质点速度将出现正比于相应点_上旋度的切向间断. 根据流体动力学中Helmhoftz基本定理，如果体积力具有势能，则在均匀理想的石可压缩的流体或正压性的气体流动时，某一时刻处于旋涡线上的介质质点将在其后的全部时间处在旋涡线上.因此旋涡表面随时间而保存下来，其中包括涡管和涡线.每涡管可以用称为涡管强度(strength)的某一数来描述，该数等于以任意方式穿过管的截面的矢量强度.该数与截面的形状无关，因为dir cur恤二0.这说明涡管可能是封闭涡环(voltl份1 ring)，抑或在流体边界处有始端和终端.涡管的强度在理想流体中不随时间而变化. 借助w.rhor朋en引人的速度”沿封闭回路(L)的环量r的概念 f二、了卜}COS回s，么对H.Helmholtz听发现的__L述涡管的特性可得到非常简单的说明.其中ds是回路L的弧的单少。.(币湘)表不v和ds之间的夹角研究速度的环量的特性可导出关干无旋运动随时间保持不变的Lagran罗定理. 旋度理论的r一要任务是按照给定的旋度矢量场确定流体运动的速度场如果某一区域充满着在所有方向仁均为无限的流体而且区域!D)充满着被封闭的涡面所局限的旋度则借助矢量一势 l，，r curlv 11几-—口口l—一a下. 卿“、么厂r按照厂式 甲之二curl 11可得到速度场如果问题是确定有限空间中沿旋涡线的速度，则由于必须考虑奇异核的积分方程，其解相与复杂，这一问题的完全解见t6]【7]. 对于平面平行运动这一重要的特殊情况: “二试义，弓’愁江”(x，少)，‘=‘(x卜门旋度的两分量外夕等于零，而第三分量下即表示整个旋度，在这种情况下旋度垂直丁XOY平面当涡线与XOy平面相交时，形成称之为旋度点(curipoint)的很小的面积当流体中存在若F个旋度点时，由于这些点在流体中产生的速度，而使这些点本身运动起来.旋度点的运动方程有力学正则方程的形式[补注I见向且场的旋度(r、)tarlon of a vectorfi。:ld).旋度算子的向量微分的数学讨论可参阅【A3卜[A5](亦见向量分析‘veCtor ana正ysis)1.

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