1) Systems of singular integral equations
奇异积分方程组
1.
The necessary and sufficient condition for the solvability of the systems of singular integral equations and the close form of the solution are obtained.
讨论了一类奇异积分方程组的解法。
2.
In this paper, the systems of singular integral equations in paper [1] are proved to be uniquely solvable in h 2p.
讨论了带双周期裂缝的各向异性弹性平面基本问题 ( )所转化成的奇异积分方程组在 h2 p类中求解时 ,其解的存在性和唯一性 ,从而证明了原问题的可解性 。
3.
In this paper,the systems of singular integral equations in paper[1 ]are proved to be uniquely solvable in h2 p.
讨论了带周期裂缝的不同材料拼接的各向异性弹性平面混合边值问题 ( I)所转化成的奇异积分方程组在 h2 p类中求解时 ,其解的存在性和唯一性 ,并把该奇异积分方程组的奇异部分写成一般形式 。
2) singular integral equations
奇异积分方程组
1.
A kind of inverse Riemann boundary value problems in Clifford analysis and singular integral equations;
Clifford分析中一类Riemann边值逆问题和奇异积分方程组
2.
Fourier transform technique is employed to transform this problem into a set of homogeneous Cauchy-type singular integral equations of the second kind, which can be solved numerically through Gauss-Chebyshev integral formulae.
用Fourier积分变换,界面连续条件和上、下电极表面的边界条件将问题归为第二类Cauchy型奇异积分方程组。
3) System of singular integral equations
奇异积分方程组
1.
The problems are reduced to some fredholm integral equationand some system of singular integral equations respectively, which are proved to be uniquelysolvable.
把寻求复应力函数的问题分别归结为求解某种Fred－holm积分方程和某种正则型奇异积分方程组，证明了解存在且唯一。
4) singular integral equation
奇异积分方程组
1.
We obtain a series of the compound formulas of S_(n+m),T_(n+m) on the characteristic manifold,and discuss constant coefficient singular integral equation.
在n圆柱和m个半平面拓扑积特征流形上引入算子Sn+m、Tn+m,分别得到它们的有关性质;并讨论了含有Sn+m、Tn+m的奇异积分方程组。
2.
To derive the singular integral equations, the Fourier tansform in conjunction with dislocations density function is used.
层状弹性材料包含垂直于界面有限裂纹时，可运用富里叶变换及引用位错密度函数，导出了反映裂纹尖端奇异性的奇异积分方程组，并使用Ｌｏｂａｔｏｃｈｅｂｙｓｈｅｖ方法解此方程组，最后得到裂纹尖端应力强度因子。
5) singular integral equation system
奇异积分方程组
1.
With the help of the theory singular integral equation system,solvable conditions are also given.
研究了一阶线性椭圆型偏微分方程组的边界条件中含有二阶偏导数的R-H-DH-D2H复合边值问题,利用消去法将该问题化为等价的广义解析向量的Hilbert边值问题,并利用奇异积分方程组理论给出了问题的可解性条件。
2.
With the help of the theory singular integral equation system,solvable result is also given.
研究了一阶线性椭圆型偏微分方程的边界条件中含有二阶微商的RD2 H复合边值问题 ,利用消去法将其化为等价的广义解析向量的Hilbert边值问题 ,并利用奇异积分方程组的理论给出了问题的可解性结
6) Jacobi orthogonal polynome
奇异对偶积分方程组
1.
Based on the method of Jacobi orthogonal polynome, general singular dual integral equations are expressed as the series of Jacobi orthogonal polynome on n order.
基于Jacobi正交多项式法,直接求解一般形式的对偶积分方程组,将对偶积分方程组中的未知函数,表示成n次Jacobi正交多项式级数,用正交多项式将奇异对偶积分方程组,化成线性代数方程组,通过求解级数中的各项系数,由此给出奇异对偶积分方程组的一般性解,并严格证明了奇异对偶积分方程组和由它化成的线性代数方程组的等价性,解的存在性和解的表示形式不唯一性。
补充资料：奇异积分
又称考尔德伦-赞格蒙奇异积分算子,一种特殊的积分变换,是一维希尔伯特变换到高维欧氏空间的推广,由A.-P.考尔德伦和A.赞格蒙于1952年引入。他们就最基本与最典型的情形，证明了奇异积分算子的Lp可积性。这是奇异积分理论的奠基性工作。以后经E.M.施坦、G.韦斯和C.费弗曼等人,把奇异积分同哈代-李特尔伍德极大函数、面积积分、多元调和函数边界性质、李特尔伍德-佩利理论联系起来，组成了近代调和分析的主要工具。同时由J.J.科恩、L.尼伦伯格和L.赫尔曼德尔等人在奇异积分理论和方法的基础上，发展出伪微分算子、傅里叶积分算子等理论，形成偏微分方程近代理论的一个重要方面。
特例 考虑n维欧氏空间Rn(n>2)上的泊松方程Δu=??，试用牛顿位势验证这个函数满足方程，形式地在积分号下微分两次，得到
(1)式中一般说来，积分(1)是发散的。因为它的核按绝对值的大小来说,在原点x=0附近是不可积的，也即按勒贝格积分的意义说,积分(1)一般不存在。但由于Ωj在Rn的单位球面S上的平均值等于对"好的"函数来说，只要把积分(2)理解为
(2)就可以证明这极限是存在的，并且可进一步证明，如果??∈Lp(p>1)，那么积分(1)所定义的也属于Lp。按正常意义是发散的积分(1)，用(2)来定义，就可能是收敛的。因此人们称 (1)右方的积分为奇异积分或奇异积分算子。
推广到一般情形 一般的考尔德伦－赞格蒙奇异积分算子是如下定义的一种积分变换：
(3)
式中Ω(y) 是零次齐次函数， 即对任意的 λ>0，满足Ω(λy)=Ω(y),并且在Rn的单位球面S上的平均值等于0,即同时还具有一定的光滑性。(1) 中的积分是奇异积分算子的一个特例。考尔德伦和赞格蒙于1952年的奠基性工作主要就是证明了:如果??∈Lp(p>1)，则由(3)所定义的T??∈Lp，并且
式中C与??无关。
从傅里叶变换的观点来看，如果??∈L2，则T??和??的傅里叶变换可以用等式 联系起来，其中m(x)是Rn上的一个零次齐次函数，更准确些,m(x)和(3)中的Ω(x)有下面的关系：
(4)式中表示x与y的内积。
里斯变换 分别取 式中C是一个只依赖于n的常数,这样的Ωj满足上面关于Ω所要求的一切条件，这时相应的n个奇异积分算子为Rj??称为??的第j个里斯变换(j=1,2,...,n)。因此,在n维空间Rn中，??共有n个里斯变换。从傅里叶变换的观点看来，只要计算出(4)中的就可以把里斯变换写成
(5)n=1时,这时里斯变换就是希尔伯特变换
可见里斯变换是希尔伯特变换到高维空间的直接推广，而一般的考尔德伦－赞格蒙奇异积分算子正是希尔伯特变换到高维空间的更一般的推广。
同偏微分方程的联系 奇异积分算子理论在偏微分方程的许多问题中起着重要的作用。为了说明这点，考虑一个纯粹的m阶的偏微分算子
(6)注意对拉普拉斯算子墹，不难看出有
结合偏微商和傅里叶变换的关系以及等式(5),就知道里斯变换实际上就是 这样(6)中的L就可以写成。这式子表明,L可以分解为算子T与(-Δ)的乘积：L=T(-Δ)，式中T实际上是一个变系数的奇异积分算子，具有下面的形式
式中Ω(x,ω)对ω来说，类似于(3)中的Ω，即对每个x有而C(x)是一个无限次可微的函数。换句话说，假如不看因子(-Δ)，偏微分算子仅仅是一种特殊类型的奇异积分算子。
考尔德伦-赞格蒙分解 奇异积分算子(2)的Lp有界性的证明，用的是马钦凯维奇算子内插定理（见算子内插）。T的(2,2)型是容易从普朗歇尔等式得到的。困难在于证明T是弱(1,1)型的。为证T的弱(1,1)型，1952年考尔德伦和赞格蒙在他们的奠基性论文中，把函数??∈L分解为g+b)两部分,其中g有较好的性质，例如g∈L2，故称g为"好的"部分，而b)是"坏的"部分，但具有某些特殊性质,如在某些方块上的积分为0。这就是通常所说的考尔德伦-赞格蒙分解。在此基础上,以后发展出一整套的实变函数论方法。奇异积分算子理论和这一整套的实变函数论方法，不仅在近代调和分析和偏微分方程的理论中，而且在多元复变函数论、概率论和位势理论中，起着重要的作用。
参考书目
A.P.Calderón and A.Zygmund, On the Existenceof Certain Singular Integrals,Acta MatheMatica,Vol. 88, pp.85～139, 1952.
E.M.Stein,Singular Integrals and Different-iability Properties of Functions,Princeton Univ.Press,Princeton,1970.
E.M.Stein and G. Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
特例 考虑n维欧氏空间Rn(n>2)上的泊松方程Δu=??，试用牛顿位势验证这个函数满足方程，形式地在积分号下微分两次，得到
(1)式中一般说来，积分(1)是发散的。因为它的核按绝对值的大小来说,在原点x=0附近是不可积的，也即按勒贝格积分的意义说,积分(1)一般不存在。但由于Ωj在Rn的单位球面S上的平均值等于对"好的"函数来说，只要把积分(2)理解为
(2)就可以证明这极限是存在的，并且可进一步证明，如果??∈Lp(p>1)，那么积分(1)所定义的也属于Lp。按正常意义是发散的积分(1)，用(2)来定义，就可能是收敛的。因此人们称 (1)右方的积分为奇异积分或奇异积分算子。
推广到一般情形 一般的考尔德伦－赞格蒙奇异积分算子是如下定义的一种积分变换：
(3)
式中Ω(y) 是零次齐次函数， 即对任意的 λ>0，满足Ω(λy)=Ω(y),并且在Rn的单位球面S上的平均值等于0,即同时还具有一定的光滑性。(1) 中的积分是奇异积分算子的一个特例。考尔德伦和赞格蒙于1952年的奠基性工作主要就是证明了:如果??∈Lp(p>1)，则由(3)所定义的T??∈Lp，并且
式中C与??无关。
从傅里叶变换的观点来看，如果??∈L2，则T??和??的傅里叶变换可以用等式 联系起来，其中m(x)是Rn上的一个零次齐次函数，更准确些,m(x)和(3)中的Ω(x)有下面的关系：
(4)式中表示x与y的内积。
里斯变换 分别取 式中C是一个只依赖于n的常数,这样的Ωj满足上面关于Ω所要求的一切条件，这时相应的n个奇异积分算子为Rj??称为??的第j个里斯变换(j=1,2,...,n)。因此,在n维空间Rn中，??共有n个里斯变换。从傅里叶变换的观点看来，只要计算出(4)中的就可以把里斯变换写成
(5)n=1时,这时里斯变换就是希尔伯特变换
可见里斯变换是希尔伯特变换到高维空间的直接推广，而一般的考尔德伦－赞格蒙奇异积分算子正是希尔伯特变换到高维空间的更一般的推广。
同偏微分方程的联系 奇异积分算子理论在偏微分方程的许多问题中起着重要的作用。为了说明这点，考虑一个纯粹的m阶的偏微分算子
(6)注意对拉普拉斯算子墹，不难看出有
结合偏微商和傅里叶变换的关系以及等式(5),就知道里斯变换实际上就是 这样(6)中的L就可以写成。这式子表明,L可以分解为算子T与(-Δ)的乘积：L=T(-Δ)，式中T实际上是一个变系数的奇异积分算子，具有下面的形式
式中Ω(x,ω)对ω来说，类似于(3)中的Ω，即对每个x有而C(x)是一个无限次可微的函数。换句话说，假如不看因子(-Δ)，偏微分算子仅仅是一种特殊类型的奇异积分算子。
考尔德伦-赞格蒙分解 奇异积分算子(2)的Lp有界性的证明，用的是马钦凯维奇算子内插定理（见算子内插）。T的(2,2)型是容易从普朗歇尔等式得到的。困难在于证明T是弱(1,1)型的。为证T的弱(1,1)型，1952年考尔德伦和赞格蒙在他们的奠基性论文中，把函数??∈L分解为g+b)两部分,其中g有较好的性质，例如g∈L2，故称g为"好的"部分，而b)是"坏的"部分，但具有某些特殊性质,如在某些方块上的积分为0。这就是通常所说的考尔德伦-赞格蒙分解。在此基础上,以后发展出一整套的实变函数论方法。奇异积分算子理论和这一整套的实变函数论方法，不仅在近代调和分析和偏微分方程的理论中，而且在多元复变函数论、概率论和位势理论中，起着重要的作用。
参考书目
A.P.Calderón and A.Zygmund, On the Existenceof Certain Singular Integrals,Acta MatheMatica,Vol. 88, pp.85～139, 1952.
E.M.Stein,Singular Integrals and Different-iability Properties of Functions,Princeton Univ.Press,Princeton,1970.
E.M.Stein and G. Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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