1) generalized Loewner matrice
广义Loewner矩阵
1.
Using the criteria on a full row or column rank solutions of Sylvester equation, the authors discuss the full row or column rank properties of generalized Loewner matrice、Hankel matrice and generalized Cauchy matrice.
利用Sylvester方程具有行满秩或列满秩解的判定准则研究广义Loewner矩阵、Hankel矩阵和广义Cauchy矩阵的行(列)满秩性。
2) generalized block Loewner matrix
广义块Loewner矩阵
3) Loewner matrix
Loewner矩阵
1.
A fast algorithm for the Moore-Penrose inverse of an Loewner matrix;
Loewner矩阵Moore-Penrose逆的快速算法
4) Loewner-type matrix
Loewner型矩阵
1.
A unilateral inverse formula for the Loewner-type matrix
Loewner型矩阵的单边逆
2.
A new fast algorithm of the minimal norm least squares solution for the linear system whose coefficient matrix is an m×n Loewner-type matrix with full column rank is given by forming a special block matrix and researching its triangular factorization.
通过构造特殊分块矩阵及其三角分解给出了求秩为n的m×n阶Loewner型矩阵为系数阵的线性方程组极小范数最小二乘解的快速算法,该算法的计算复杂度为O(mn)+O(n2),而一般方法的计算复杂度为O(mn2)+O(n3)。
3.
Such as block circulate tridiagonal matrix, block tridiagonal matrix, block pentandiagonal matrix, block quasi-tridiagonal matrix, Hankel-type matrix, Vandermonde-type matrix, Loewner-type matrix and symmetrical Loewner-type matrix.
本文对工程与科学计算中经常遇到的一些特殊矩阵，如分块循环三对角矩阵、分块三对角矩阵、分块五对角矩阵、分块拟三对角矩阵、Hankel型矩阵、Vandermonde型矩阵、Loewner型矩阵、对称Loewner型矩阵等进行研究，给出了求解线性方程组、三角分解、逆矩阵等的若干快速算法。
5) symmetric Loewner matrix
对称Loewner矩阵
1.
Then,a new fast algorithm of the minimal norm least squares solution for linear system whose coefficients is an m×n symmetric Loewner matrix with full column rank is given by forming a special block matrix and researching the triangular factorization of its inverse.
对于工程计算中常常遇到的一类线性方程组的求解,通过构造特殊分块矩阵并研究其逆矩阵的三角分解,给出了求秩为n的m×n阶对称Loewner矩阵为系数阵的线性方程组,及极小范数最小二乘解的快速算法,该算法的计算复杂度为O(mn)+O(n2),而一般方法的计算复杂度为O(mn2)+O(n3)。
2.
On the basis of intrinsic connections between symmetric Loewner matrix and interpolation for rational functions,this paper gives the necessary and sufficient conditions for the product of two nondiagonal symmetric Loewner matrices being also a symmetric Loewner matrix.
利用对称Loewner矩阵与有理函数插值之间的内在联系,给出2个非对角对称Loewner矩阵的乘积仍为复对称Loewner矩阵的充要条件,以及条件满足时乘积的明确表达式。
6) Vandermonde-Loewner type matrix
Vandermonde-Loewner型矩阵
补充资料：广义逆矩阵
逆矩阵概念的推广。若A为非奇异矩阵,则线性方程组A尣=b的解为尣=A_1b，其中A的逆矩阵A_1满足AA_1=A_1A=I(I为单位矩阵)。若A是奇异阵或长方阵,A尣=b可能无解或有很多解。若有解,则解为尣=Xb+(I-XA)у,其中у是维数与A的列数相同的任意向量,X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵,用Ag、A_或A等符号表示,有时简称广义逆。当A非异时,A_1也满足AA_1A=A,且。故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。
1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A,都存在惟一的n×m阶矩阵 X，它满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*＝AX；④(XA)*＝XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。当A非异时，A_1也满足①～④,因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组A尣＝b的最小二乘解中,尣＝A+b是范数最小的一个解。
若A是n阶方阵,k为满足的最小正整数（rank为矩阵秩的符号），记作k=Ind(A)，则存在惟一的n阶方阵X，满足：
(1) AkXA=Ak；(2) XAX=X； (3) AX=XA。通常称X为A的德雷津广义逆矩阵，简称D逆,记??Ad,A(d)或AD等。虽然它和线性代数方程组的解无关，但它在线性差分方程、线性微分方程、最优控制等方面都有应用。例如,设A、B是n阶方阵,齐次差分方程,如果存在一个数λ，使 存在，则它的一般解为
式中q为任意n维向量；;。
根据实际问题需要还定义了其他各种类型的广义逆矩阵,如网络理论中用到的博特-达芬逆矩阵等。一般说来，它们都具有下列一些性质：当A非异时,广义逆矩阵就是A_1；广义逆矩阵必存在;广义逆矩阵具有逆矩阵的某些性质(或适当修改后的性质),如(A_1)_1=A,(A_1)*=(A*)_1等等。
广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯·诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣。1951年瑞典人A.布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔所定义的广义逆，并注意到广义逆与线性方程组的关系。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在惟一的X=A+满足前述性质①～④，并以此作为 A+的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称A+为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。
广义逆的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的特殊方法。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵,记作,有满秩分解A=F·G,其中，则,即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解，然后求出A+。
若A有奇异值分解A=UDV*,其中U、V为m阶和n阶酉矩阵，是m×n阶矩阵，是r阶对角阵，对角元是A的r个非零奇异值（AA*的非零特征值的平方根）,则A+=VD+U*，其中是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ，然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h,于是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。
设λ1是AA*的最大非零特征值,若0<α<2/λ1,则计算A+的一个迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，当n→∞时,xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,...,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k＝2,3，...,n),则
，式中
；
；
1955年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专著和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。
参考书目
S.L.Campbell and C.D.Meyer，Jr.，Generalized Inverses of Linear TransforMations,Pitman,London, 1979.
M.Z.Nashed, ed.,Generalized Inverses and Applications,Academic Press,New York,1976.
1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A,都存在惟一的n×m阶矩阵 X，它满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*＝AX；④(XA)*＝XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。当A非异时，A_1也满足①～④,因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组A尣＝b的最小二乘解中,尣＝A+b是范数最小的一个解。
若A是n阶方阵,k为满足的最小正整数（rank为矩阵秩的符号），记作k=Ind(A)，则存在惟一的n阶方阵X，满足：
(1) AkXA=Ak；(2) XAX=X； (3) AX=XA。通常称X为A的德雷津广义逆矩阵，简称D逆,记??Ad,A(d)或AD等。虽然它和线性代数方程组的解无关，但它在线性差分方程、线性微分方程、最优控制等方面都有应用。例如,设A、B是n阶方阵,齐次差分方程,如果存在一个数λ，使 存在，则它的一般解为
式中q为任意n维向量；;。
根据实际问题需要还定义了其他各种类型的广义逆矩阵,如网络理论中用到的博特-达芬逆矩阵等。一般说来，它们都具有下列一些性质：当A非异时,广义逆矩阵就是A_1；广义逆矩阵必存在;广义逆矩阵具有逆矩阵的某些性质(或适当修改后的性质),如(A_1)_1=A,(A_1)*=(A*)_1等等。
广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯·诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣。1951年瑞典人A.布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔所定义的广义逆，并注意到广义逆与线性方程组的关系。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在惟一的X=A+满足前述性质①～④，并以此作为 A+的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称A+为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。
广义逆的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的特殊方法。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵,记作,有满秩分解A=F·G,其中，则,即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解，然后求出A+。
若A有奇异值分解A=UDV*,其中U、V为m阶和n阶酉矩阵，是m×n阶矩阵，是r阶对角阵，对角元是A的r个非零奇异值（AA*的非零特征值的平方根）,则A+=VD+U*，其中是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ，然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h,于是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。
设λ1是AA*的最大非零特征值,若0<α<2/λ1,则计算A+的一个迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，当n→∞时,xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,...,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k＝2,3，...,n),则
，式中
；
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1955年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专著和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。
参考书目
S.L.Campbell and C.D.Meyer，Jr.，Generalized Inverses of Linear TransforMations,Pitman,London, 1979.
M.Z.Nashed, ed.,Generalized Inverses and Applications,Academic Press,New York,1976.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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