补充资料：Morse-Smale系统

Morse-Smale系统
Morse-Smak system

　　M硕祀一Sm司e系统「M谊咫.5洲山卿创.n;MO伴a一CMe-如acllc，Ma}，M叨e.Sm目e动力系统(Mon七.5力la」edyl皿n五eal哪tem) 紧的(通常为闭的)m维微分流形Mm上的(由一微分同胚S，这时称为Mo议一Sma】e微分同胚(MO招e-Smaledi伍习以冲比m)生成的)光滑流(连续时间动力系统(flow(con血uous石nrd卿1llicals”tem))){仅}或瀑布(cascade)(即离散时间动力系统){夕}，具有以下性质: l)此系统有有限多个周期轨道(包括瀑布情况下的不动点)和(流的情况下)的平衡状态. 2)l)中所说的每个轨道均有局部结构稳定性(focals奴uctuml stability)(通常其定义要求相应的线性化系统有等价的性质).这就保证了对于每个这样的轨道存在稳定和不稳定不变流形W‘和W“(若此轨道是稳定的，或完全不稳定的，则评气或相应地碎几化为此轨道本身);W“的维数称为此系统的指数(iedex).指数是一光滑函数f:M~R的非退化临界点(或平稳点)w。的M吠犯指数(Mo倪index)的推广，因为后者与梯度动力系统(脚山enidyna而eal哪t。刀) 和二一Vf(、)(一)的平衡点的指数是相等的，(l)的梯度是相对于M上任一个凡e江犯比田度量取的 3)l)中所讲到的轨道的不变流形横截相交(即若、〔w:自w犷，则对于切空间有T，WI十T，W笠=T、M). 4)所有其他轨道当t~士的或。~士的时，趋向l)中所讲到的轨道之一， 5)若M有边界，则对系统在边界附近的性态应加某些条件.对于流(迄今只考虑过这种情况)通常要求相速度向量总是横截于边界. N肠及七，Sn扭k系统是结构稳定系统(见粗系统(rol吵s岁tem)(〔IJ)).MO璐‘S功目e系统的特例在开始时就是联系着这种系统来讨论的—这些特例就是平面区域中的流(更详细的讨论见【2J)与圆上的瀑布(见「4j一【6]).Molse~Sm阁e系统的一般情况是5.S切司e引人的，他对闭的M考虑了Mo淤.5侧止系统.对于它证明了以下的Morse一Srr以】e不等式(M姗一Srn司eill闪画石已).对一瀑布，令m‘为指数为i的周期点个数，对于流则爪，表示指数为i的平衡位置个数与指数为i和1+1的周期轨道个数这三个数的和.于是对于i二O，“‘，小， ii 艺(一l)，m卜，)艺(一l)，b，、，(2) 少.oj一0b‘是M的第i个孩州数(色狱inl盯川芡r)(若2)中引人的砰“，坪’中有一些是不可定向的，则在特征为二的域上取氏侧数).若i=。

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