补充资料：Pfaff问题

Pfaff问题
Pfaffian problem

　　P.ff问题Ip.伍叨p加翻an;n中a帅a op06此Ma」 描述由q个微分l次形式 口“=O，:二l，一，q，(*)所构成的P自ff方程组(Pfaff运ns娜tem)的最大维数的积分流形的问题，这Q个微分1次形式给定在某一区域M CR”(或在某一流形)上，且在其每一点均线性无关.子流形N‘M称为方程组(*)的积分流形(加teg珍】Inanifold)，如果0“诸形式在N上的限制恒为零.这个问题是P丘llf提出的(1814). 从几何观点看来，方程组(，)在M上决定了一个(n一q)维分布(即一个P恤ff结构(P电伍皿stlljc-ture))，亦即〔n一q)维子空间的场 x，一只二{夕eRn:o厂(夕)二o}，x‘M，而刊h汀问题即寻求切于此场的最大可能维数的子流形.刊缸1，问题的重要性在于以下事实:求积任意偏微分方程的问题均归结为一P几ff问题.例如，求积一阶方程 _「。二1 F lx‘，u二誉二尸!=O 一L一’一’刁x’」的问题就可归结为在空间RZ”+’的由方程 F(x‘，u，P，)=0所定义的子流形(一般说来可能有奇性)上求积刊五任方程 8二du一尸.dx，二0这一刊h任问题. 一个完全可积P肠ff方程组(P俗巧ans那把m)(还有其类为常值的单个1七ff方程(R袱随n闪Uation))都可局部地化为简单的典范形式.在这些情况下，求解P丘zff问题归结为求解常微分方程一般情况下(在光滑函数类中)的刊记r问题迄今(1989)尚未解决.E .C缸tan在他的对合方程组(involutionals”记m)理论中解决了解析情况的刊苗f问题.〔妞山n的基本定理的提法基于正则积分元的概念.切空间爪M的k维子空间凡称为方程组(*)的k维积分元(k一dlnrnsional Inte-助U elelnent)，如果 口，(E*)“0，d口“(E*八E*)=0，仪=l，…，q.余切空间T:(衬)的由l次形式口“I、，(vjdo“)二(v任E*，J是内乘积运算，即缩并)所生成的子空间S(E*)称为积分元E*的极系统(polars”tem).如果有旗E*。，二。E，。0存在，使得 din1E二i，d如S(E‘)=rnaxdims(E:)，这里最大值是对所有包含E，一的i维积分元E‘取的，则积分元E。称为正则的(1铭山r).(勃川泊n定理(O王山ntl长幻化m)指出:如果N是具有解析系数的P公连ff方程组的k维积分元，并令某一点xeN的切空间TxN是一正则积分流形，则对任一k十1维的积分元E*+，。

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