补充资料：调和平衡法

调和平衡法
hannonc babnoe method

　　调和平衡法【加m期血加肠.以.州山闭;r即Moll，ec幼ro血皿.ea MeTo八」 一种研究由非线性常微分方程描述的非线性振动系统的近似方法.这种方法的本质是用专门构造的线性函数代替振动系统中的非线性力，因此可用线性微分方程理论求非线性系统的近似解. 这个线性函数是用称之为调和线性化的特殊方法构造的.设给定的非线性函数(力)为 ;(x，*)二叮(x，*)，‘一贵，其中￡是一个小参数，调和线性化(加叮阳nie址眨颐左加n)就是用线性函数 式(x，交)=kx十又交代替F(x，又)，其中参数k和又由公式 2旅 忍r Kt口j=—11吃口以冶少，一口口S坦沙]仪巧少比珍， 究a公- 2， 石r， 几叹口)=一—11(口以)S沙，一口口Sm沙)Sm山己公， 二a田了一’ 访=.r+8给出. 如果x=a姗(口r+0)，a=常数，田=常数，0=常数，那么非线性力F(x，幻是时间的周期函数，一般说来，它的Founer级数展开式含有无限多个频率为n。(n=l，2，…)的谐波(加叮田苗“)，即形式为 尸(x，习=艺凡。(。。:+氏).(l) n=0项巩既(。t十0，)称为展开式(l)的基本谐波伍田由-n℃泊川抽吐即血).线性函数弓的振幅和位相与非线性力的基本谐波的相应特征一致. 对于拟线性振动理论中典型的微分方程 父+扩x+F(x，交)=o，(2)调和平衡法用线性函数月代替F(x，幻;因此代替方程(2)，考虑方程 父+又交+k，x=0，(3)其中kl=扩+k.通常称汽为等价线性力(闪山枪lenl‘fo、，*为等价平尽枣犷向山谊比tdamn、“祀场康峨)，而气为等价呼件季攀(闪汕阁。t dastidty毓伍涂烈).已经证明，如果非线性方程(2)有一个形如 x=a姗(。￡+8)的解，其中 d=O(。)，山=O(。)，那么在(2)和(3)的解之间的差的量级为扩.调和平衡法中的振动频率依赖于振幅a(通过参数k和劝. 调和平衡法常用于求周期和拟周期振荡，自动控制理论中的周期和拟周期条件与平衡条件，以及研究它们的稳定性.它在自动控制理论(auto住以康。n廿。1山众〕ry)中广泛使用.
　　

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