补充资料：Poisson积分

Poisson积分
Poisson integral

I洲幽阅积分【rb‘，mint馏阁;n卿co““眼印幼l 在单连通区域中关于U户Ce方程(加plaCe叫ua-tion)的I万的d‘d问题(D州chktp田日咖)的解的积分表示.具体地，在Euclid空间R”(刀)2)中以R为半径，以坐标原点为中心的球体B。(0，R)上的Pois-son积分具有形式 。(x)一丁，(，)，。。(二，，)己s。(，)，(1) S，(0 .R)其中f是在半径为R的球面S。(0，R)上给定的连续函数， __、IR月一2(RZ一}戈12、 尸B。(x，y)二分一’、一’__、二‘一，· o。!x一yl是该球的Po油on核(Poisson kemel forthe加U)，a。=n兀”/ZR”一’/r(1+n/2)是球面s。(o，尺)的面积，而ds。是S。(O，R)上的面积元. 在n二2的情形下，SPo断n在【l]中得到的公式(l)是作为三角级数 夸+*客，(·*coS、。+。*S、、。);*之和的积分公式，这里“*，b、是函数厂(y)二f(e‘甲)的FQ此:系数，(:，川与(1，中)分别是点x一r日“与夕=e’’产的极坐标;这时，Poisson核具有形式 pBZ(、，y)=尸BZ(;已”，『甲)- 一六丁二万橇衫丽万.、2)(关于Po肠on积分在三角级数理论中的应用见〔3]，亦见Ab日一P滋对诩求和法(Abel一Po贬石onsumma石。nn℃tllod): 在半空间 R飞={x二(x.，‘二，‘，)〔R‘’:“>o}上的PoisS0n积分具有形式 :、(，)一丁，、:)pR:(x，，)dR。(，)，(3， “器其中 R二={y二(yl，…，y刁〔R”:y。=o}，dR;{是R名的体积元.f是R吕上的有界连续函数，而 )r fl+，7/，、X 1户1吸吸X‘VI二一_ n兀‘一lx一y}是该半空间的Poisson核(Poisson kenlel for the half·sP:lce).公式(l)和(3)都是Green公式 乙“·，一)j‘夕碑徐严“r(，)(‘)的特殊情形.对于具有光滑边界r的区域D CR”，利用G溉n函数G(义，夕)沿r在点夕‘r的内法线方向的导数。G(x，y)/云”，，，这个公式给出了Dirichlet问题的解.公式(4)有时也称为Po姚。n积分. Poisson积分的基本性质是:1)u(劝是点x的坐标的调和函数(几川刀。mcft川Cti(〕n);2)Po讹on积分在(有界)调和函数类中给出了以.f为边界数据的Diricll-let问题的解，即函数“(尤)用值厂(y)扩张到区域的边界后，在闭区域是连续的.Poisson积分在经典的数学物理中的应用就是基于这些性质的(见【4}) Po粥on积分在Le比g记的意义下理解时，比如，当了为S。

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