补充资料：二项式系数

二项式系数
binomial coefficients

tion)而得到的无序组合数有关.把二项式系数写成算术三角形即P瑰沈al三角形(Pascal triangle)的形式是非常方便的，这个三角形的构造根据二项式系数的下列性质: fNI，fN{!N+11 卜!十{。钓{一{篇+讨(2) 二项式系数以及算术_几角形，在不同程度的发展形式下，古代数学家己有所了解B.Pas以1‘16〔，5)详细地研究了二项式系数的性质.除了关系式(2)以外，在二项式系数之间还有许多其他有用的关系式，例如， 「Nl{N) t”!{N一。}’ 圈/刻川飞二盯·‘。《“一; 么，、:，，fN、、_，.} 、、(一1丫k用}‘，’{二0片:二O…_，.N一l} 白、人少几}k}一叭‘r‘一U~一’·，且’} 各fn飞2 fZnl{(3) ‘Ik}In}} 、认「N}，，，，、，、，、{ 、’}‘，’}k(k一l)一(k一r千l)二! ‘}k}‘、、n’声、几‘”一} N〔N一1、…‘N一r十价·2脚厂、{ 么.、、fNI，，，、、.‘、} 、’‘一1丫}不厂1 kfk一1)一fk一厂一+】、二0} 、代’‘，}kj几’八”‘n‘’】，一!待别是，山(3)可以得到 么。、。_、{ 么}关!二2‘;! 琴(4) 污…，，，、‘}刀{、} 》’‘一刁)”{‘，’l二0.{ 六“’{‘一U‘{ 利用Stidi雌公式(Stil创ng formula)可以得到-项式系数的近似表达式例如，当N远大于n喇，有 「N}N” }月jn! 在复数仪的情况卜，可以把二项式系数按卜列公式推广: fala(a一l)一(a一n+l)_，、「a} !}=一一.n‘夕U二1八l二二1， 七nJ n 11气少j这时，(2)一(4)中的某些关系式仍然成立，但是一般地说，形式有所改变.例如， 「al，la{_la+11 {”卜十)~‘}二}~:}: Ln](月十l}tn十lj 燕}井卜2“，“e“>一’; 十C〔厂、 ，r，1、奋{al八n~八 、，(一l、凡}了l二二U Ke以>t)- 人二O关于二项式系数表，见[2]，[3].二项式系数!bin佣11川姗伍dal.;6~碟即冲-中即”.”…“] Ne，don二项式(Newton blno皿1)(l+艺)入的展开式中g的各次幂的系数.二项式系数用 (澎l (nJ或嵘来表示，并且由下式给出: fN飞一。N! 日二C乃一石兀石二.万万一(l) _州N-也‘二进二生些。(。镇N 一。!第一种表示法(仁)是L.Euler首先采用的;第二种表示法C刃出现在19世纪，可能同把二项式系数解释为从N个不同对象中取，，个对象形成一个组合(combina-

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