·[商集]

r是a上的[等价关系]，由关于r的所有不同的[等价类]作为元素组成的集合称为a关于r的[商集]，记作a/r

本质上说，集合a关于等价干系r的商集a/r是a上的一个[划分]，等价类就是[块]。即商集a/r中，全部元素相并就等于集合a，任意两个元素相交都为空集。

s={a1,a2,..an}

a1并a2并...并an=a 且 ai交aj={} (i><j;i,j=1,2...n)

==>s是a的一个划分，ai是a的子集，也是划分s的块。

[定理] a上的一个划分s能唯一确定一个等价关系r

这个划分s就是a关于r的商集a/r，s=a/r

附：

·[二元关系]

设a,b是集合，r是笛卡儿乘积axb的子集，则称r是a到b的一个二元关系，例如a={x,y},b={a,b},r={(x,a),(x,b),(y,b)}

·[自反的二元关系]

如果对于集合a的每一个元素a都有(a,a)属于二元关系r，则称r为自反的二元关系

·[对称的二元关系]

如果每当(a,b)属于r，就一定有(b,a)属于r，则称r是对称的二元关系

·[传递的二元关系]

如果每当有(a,b),(b,c)属于r，必有(a,c)属于r，则称传递的二元关系

·[等价关系]

r是a上的[二元关系]，如果r是自反的、对称的、传递的二元关系，则称r为a上的[等价关系]。

·[等价类]

设r是a的等价关系，a是a中的任意元素，由a中的所有与a相关的元素组成的集合，称为a关于r的等价类，记作[a]r

·例如：

a={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；

r是a上的同乡关系[不难证明同乡关系是等价关系]，

若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，

则r={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}

a中各元素关于r的等价类分别是：

[a]r=r={a,b}

[c]r=

[d]r=[e]r=[f]r={d,e,f}

a关于r的商集a/r={[a]r,[c]r,r}={{a,b},,{d,e,f}}

参考资料：离散数学